设 $a,b,c,d,x,y,u,v\in\mathbb{R}$. 则有

\[
\begin{vmatrix}
ax+cu & bx+du\\
ay+cv & by+dv
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
a & b\\
c & d
\end{vmatrix}\cdot
\begin{vmatrix}
x & y\\
​u & v
\end{vmatrix}
\]

应用.

设 $r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ 是曲面 $\Sigma$ 的参数方程. $(u,v)=\varphi(s,t)$ 是曲面 $\Sigma$ 的重新参数化. 若仍记 $\tilde{r}(s,t)=r(\varphi(s,t))$ 为 $r(s,t)$. 则有

\[
r_s\times r_t=r_u\times r_v\cdot\frac{\partial(u,v)}{\partial(s,t)}.
\]